EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI

*Escritor y matemático

Los pitagóricos no concebían los números independientemente de los objetos reales y, por tanto, para ellos solo existían los números enteros y las fracciones. Existen los números 1, 2, 3... porque puedo tener una, dos, tres o más naranjas, y también existen los números fraccionarios, como 1/2 o 1/4, porque puedo tener media naranja o una cuarta parte. Pero un día alguien se preguntó cuánto medía exactamente la diagonal (d) de un cuadrado de lado unidad. Según el teorema de Pitágoras, d2=1+1=2; por tanto, d=?2. ¿Podía expresarse este valor mediante una fracción? Supongamos que sí y llamemos a esa fracción, en su versión simplificada,a/b. Como la fracción está en su forma más simple, a y b no pueden ser los dos pares, pues en tal caso podríamos simplificar la fracción dividiendo ambos términos por 2. Ahora bien, si ?2=a/b, 2=a2/b2, a2=2b2, luego a2 es par, y por tanto a también lo es, puesto que el cuadrado de un número impar no puede ser par. Pero si a es par, es el doble de otro número natural, al que llamaremos n, luego a=2n y a2=(2n)2=4n2. Y como a2=2b2, 4n2=2b2, b2=2n2, luego b también es par. Pero hemos partido de una fracción a/b simplificada, en la que a y b no pueden ser ambos pares. Por tanto, la fracción a/b no existe: ?2 no puede expresarse como la razón entre dos números; es un número irracional.

Parece ser que el descubrimiento de los números irracionales supuso un auténtico trauma para los pitagóricos, hasta el punto de que le exigieron a su descubridor, Hipaso de Metaponto, que mantuviera en secreto su existencia. Pero Hipaso se fue de la lengua y, según una poco creíble leyenda, el mismísimo Pitágoras lo condenó a muerte por revelar su nefasto descubrimiento. Parece más probable que Hipaso muriera ahogado en un naufragio y que algunos atribuyeran el accidente a un atentado de los pitagóricos o a un castigo de los dioses.

Veinticuatro siglos después, otro matemático trazó otra diagonal –esta vez en un cuadrado infinito– y descubrió otro tipo de números “malditos”, que despertaron las iras de algunos de sus colegas. Se llamaba Georg Cantor, y tras imaginar que los infinitos números irracionales comprendidos entre 0 y 1 habían sido numerados (es decir, puestos en correspondencia biunívoca con los números naturales), se dio cuenta de que podía construir un nuevo irracional que fuera distinto del primer número de la hipotética lista en su primer decimal, del segundo en su segundo decimal, y así sucesiva e indefinidamente. Por lo tanto...