La cara amable de las matemáticas

La ciencia de las matemáticas es, como asignatura, una de las materias que más se atraganta a los niños. Sin embargo, esta disciplina constituye una de las herramientas más importantes para la vida cotidiana, pese al desconocimiento que existe sobre ella. La mayoría de las cosas se organizan a partir de los números, pero las matemáticas están presentes en más aspectos de lo que se suele pensar, desde la navegación en mar abierto hasta la telefonía móvil o el vuelo de los aviones. Así lo constata el inglés Ian Stewart, director del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick (Reino Unido), en su obra Historia de las Matemáticas (Editorial Crítica), donde repasa los grandes hitos de la historia de esta disciplina.

Los datos manejados por Stewart no dejan lugar a dudas sobre la importancia de un campo de conocimiento dividido en casi un centenar de áreas mayores, subdivididas a su vez en varios miles de especialidades, que ocupa a más de 50.000 matemáticos investigadores en el mundo y sobre el cual se publican más de un millón de páginas nuevas cada año.

Y entonces, ¿a qué se debe su impopularidad? Fundamentalmente, según expone el autor, a que la mayoría de las matemáticas que se enseñan hoy en las escuelas tienen más de 200 años, y esto impide a los ciudadanos conocer sus usos y teorías más modernas y, por tanto, ser conscientes de la importancia de su aplicación a los elementos tecnológicos que emplean a diario.

Las matemáticas trabajan con un sistema numérico creado hace más de 1.500 años (unos 450 si hablamos de los decimales) y que hoy es clave, por ejemplo, para los biólogos empeñados en descifrar la información de la molécula de ADN descubierta en 1956 por James Watson y Francis Crick.

Asimismo, y aunque habrá quien piense que el comercio on-line es un procedimiento relacionado exclusivamente con la informática, en realidad se basa en la teoría de los números, que sirve de fundamento para muchos códigos de seguridad utilizados en Internet. El más conocido de ellos es el criptosistema RSA, que tiene la sorprendente característica de que el método que emplea para encriptar mensajes puede hacerse público sin necesidad de revelar el proceso inverso para desencriptarlo. Pero hay más ejemplos sorprendentes en un viaje por el conocimiento matemático que le quitará el rostro huraño a esta ciencia y la revelará como el amigo invisible de quien dependen muchas de nuestras comodidades diarias.

Arquitectura: puentes colgantes

El cálculo infinitesimal tiene múltiples repercusiones en la vida humana, aunque posiblemente la más destacada de ellas haya sido el descubrimiento de la curva necesaria para que un puente colgante no se desplome, conocida como catenaria. Esta aplicación fue descrita en el año 1691 por Johann Bernoulli, basándose en la mecánica y las leyes de movimiento de Isaac Newton. Bernoulli descartó la hipótesis de que la figura correcta era una parábola –aunque es cierto que los cables de suspensión de los puentes son parabólicos, lo que ocurre porque, además de su peso, soportan el del puente–.  Igualmente, este cálculo es básico para trazar la trayectoria de las sondas espaciales, calcular el desplazamiento de vehículos, o incluso estudiar la difusión de epidemias. De hecho muchas de las intervenciones que se ponen en marcha contra estos problemas de salud pública se basan en el cálculo infinitesimal.

Comunicación: telefonía móvil

El teléfono móvil hace un uso esencial de la geometría de espacios multidimensionales, igual que la conexión a Internet, la televisión por satélite o cable y prácticamente cualquier otro aparato tecnológico que envíe o reciba mensajes. La comunicación moderna, en cualquiera de sus modalidades, es digital, con lo que todos los mensajes, incluidos los de voz, se convierten en pautas binarias basadas en los números 0 y 1. Pero las comunicaciones no son útiles si no son fiables: existe la posibilidad de que el mensaje recibido tenga alteraciones respecto al enviado, y el hardware electrónico no puede garantizar la precisión porque las interferencias e incluso un rayo cósmico pueden producir errores. Por ello, los ingenieros usan técnicas matemáticas basadas en los espacios multidimensionales para codificar las señales, de forma que el sistema puede detectar y corregir las imprecisiones.

Soportes: el alma de los CD y DVD

Los campos de Galois del álgebra abstracta forman la base de un sistema de codificación muy empleado en la actualidad en aplicaciones comerciales, fundamentalmente en la grabación de CD y DVD. Al reproducir música en cualquier formato o poner una película en los cines, se utiliza álgebra abstracta basada en los códigos de Reed-Solomon, introducidos en 1960. Se trata de códigos de corrección de errores basados en un polinomio, con coeficientes en un campo finito, construido a partir de los datos a codificar, tales como las señales musicales o de vídeo. Su base de funcionamiento consiste en calcular el polinomio en más de n puntos; si no hay errores, cualquier subconjunto de n datos reconstruirá el mismo polinomio. Por el contrario, si los hay, siempre que su número no sea demasiado grande sigue siendo posible deducir el polinomio y, a partir de él, escuchar la canción o visionar la película deseada.

Navegación: GPS para todos

Los automóviles incluyen ya un sistema de posicionamiento global (GPS), que utiliza la información de 24 satélites. Las señales de radio viajan a la velocidad de la luz (300.000 kilómetros por segundo) y un computador en el automóvil puede calcular la distancia hasta el satélite si conoce cuánto tiempo ha tardado la señal en viajar desde el satélite al automóvil. Este tiempo suele ser de una décima de segundo, pero para contarlo de forma precisa ahora la señal contiene información sobre el tiempo. La navegación también se ha simplificado gracias a este método, puesto que antes dependía de la geometría para la elaboración de las coordenadas. Para hallar la latitud se medía el ángulo del sol por encima del horizonte con un sextante, y la longitud se sabía gracias a un reloj de alta precisión, combinado con la información sobre el amanecer y el ocaso, y los movimientos de los astros.

Diseño: curvas para volar

El análisis numérico desempeña un papel central en el diseño de los aviones modernos. Hasta hace poco, los ingenieros calculaban el flujo del aire en el rozamiento con las alas y el fuselaje en los túneles del viento. Para ello, colocaban un modelo de avión en el túnel, soplaban aire con un sistema de ventiladores y observaban las pautas de comportamiento de la corriente. Ecuaciones como las de Navier-Stokes les proporcionaban ideas teóricas, pero era imposible resolverlas con exactitud para aviones reales por su forma complicada. Los computadores actuales son tan potentes que ahora, en muchos casos, se recurre al túnel del viento numérico, ya que permite resolver con seguridad las precisas ecuaciones de Navier-Stokes. La computación actual permite, además, visualizar y analizar cualquier característica deseada del flujo de aire para
prever cualquier comportamiento de la aeronave.

Orientación: los mapas más exactos

La trigonometría es fundamental para el desarrollo de la topografía en escalas, empleada para mediciones que van desde la supervisión de emplazamientos que se están construyendo hasta la determinación de los límites de los continentes. En el mundo real es relativamente fácil medir ángulos con alta precisión, pero hallar con exactitud las distancias es mucho más difícil, especialmente si se trata de un terreno abrupto. Por eso los topógrafos empiezan haciendo una medida cuidadosa de una longitud, a la que denominan la línea de base. Luego forman una red de triángulos y utilizan los ángulos para calcular los lados de estos triángulos. Así puede construirse un mapa preciso de toda el área de interés, empleando el proceso conocido como triangulación. Para comprobar su precisión, es habituar hacer una segunda medida de distancia una vez que la triangulación se ha completado.

Biología: análisis de poblaciones

El análisis matemático se utiliza en biología para estudiar el crecimiento de poblaciones de organismos. Un ejemplo muy claro de ello es el modelo logístico o de Verhulst-Pearl, en donde entran en juego el cambio de la población durante un determinado periodo de tiempo y la capacidad de sustentación, esto es, la máxima población que puede sostener el entorno donde se encuentra. En este modelo, la pauta de crecimiento empieza con un crecimiento exponencial, pero cuando la población alcanza la mitad de la capacidad de sustentación, el incremento de individuos empieza a frenarse y con el tiempo la población se estabiliza. La curva resultante no es totalmente realista, aunque se ajusta bastante bien a muchas posibilidades reales. Con este método también es posible estudiar el consumo humano de recursos naturales, lo que hace posible estimar la demanda futura y cuánto durarán los recursos.

Simetría: el patrón de la piel

Dentro de los diferentes campos de las matemáticas, la teoría de los grupos aparece incluida entre las teorías de formación de pautas, como la de las ecuaciones de reacción-difusión, introducida en 1952 por Alan Turing como una posible explicación de las pautas simétricas de la piel de los animales. Según la teoría, al igual que un sistema de sustancias químicas puede difundirse a través de una región del espacio, las sustancias también pueden reaccionar para producir nuevas sustancias. La hipótesis señala que, si la región es un plano, las ecuaciones son simétricas bajo movimientos rígidos y su solución es un estado uniforme; como ocurre con una piel del mismo color. Pero el estado uniforme puede ser inestable, en cuyo caso la solución será simétrica bajo algunos movimientos rígidos, pero no bajo otros, dando lugar a rupturas de simetría como las franjas o manchas irregulares que ofrece el dibujo de la piel de los animales.

Biomedicina: nuevos fármacos

Uno de los usos más importantes de la teoría de las probabilidades se da en los ensayos clínicos de nuevos medicamentos, que constituyen el procedimiento por el cual se determina su seguridad y efectividad. Cualquier dato obtenido ha de ser sometido a la pregunta de si se trata de una conclusión estadísticamente significativa, esto es, si el medicamento funciona realmente o su efecto beneficioso es la consecuencia de un puro azar. El problema se resuelve utilizando métodos estadísticos conocidos como comprobación de hipótesis, donde se comparan los datos obtenidos en los ensayos con un modelo estadístico y se estima la probabilidad de que el resultado aparezca por azar. Así por ejemplo, si esa probabilidad es menor de 0,01, los investigadores sabrían que están ante un medicamento que ofrece un resultado alejado del azar en 0,99, o, lo que es lo mismo, con un 99% de eficacia. 

Espacio: sondas en otros mundos

Podría parecer que el caos no tiene aplicaciones prácticas al ser irregular e impredecible, pero, al basarse en leyes deterministas, resulta útil gracias a estas mismas características. Hacia 1950, John von Newmann sugirió que la inestabilidad del tiempo meteorológico podría ser una ventaja al implicar que un efecto muy deseado puede ser generado por una perturbación muy pequeña. En 1979, Edward Belbruno se dio cuenta de que este principio podía mover naves espaciales en largas distancias con muy poco consumo de combustible, lo que se aplicó a la sonda Hiten en 1990 y otras como la Génesis. Este método de control de sistemas caóticos se emplea para sincronizar bancos de láseres, controlar irregularidades del latido cardiaco con marcapasos inteligentes o monitorizar las ondas eléctricas en el cerebro.